初一
数学速通 · 苏科版
0 / 14 天

数与式的地基

有理数 → 代数式 → 方程 → 图形 · 这一周慢慢走
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DAY1

有理数的概念地图

6 个知识点 · 3 道例题 · 12 道练习
今日目标：能解释负数为什么存在；会画数轴并在上面标点、比大小；能一句话说清绝对值是什么、不是什么。
先读这一段

小学你学的数，主要用来表示「有多少」：3 个苹果、0.5 米、三分之二块饼。但生活里还有一类问题，光说「有多少」说不清——温度降到零下 5 度、电梯到地下 2 层、这个月亏了 300 块、海拔低于海平面 40 米。这些量有方向，方向还正好相反。

数学家解决这个问题的办法很朴素：先定一个 0 当分界，再定一个方向叫「正」，反方向就叫「负」。于是有了正数和负数。有了正负，所有「相反意义的量」都能用同一套符号写下来，也就能参与计算了。

但要注意：数字前面多了一个「−」，这个数的意义就变了。它不再表示「有多少」，而是表示「在 0 的哪一边、离 0 多远」。今天要学到的数轴、相反数、绝对值，本质上都是在把这句话讲清楚。

读完先回答自己：−5 和 −3 哪个更大？为什么这个答案和你平时的直觉相反？

1这一节真正要记住的 6 件事

  • 负数的作用是表示“相反意义的量”。收入 +50、支出 −50；零上 3℃、零下 3℃。凡是能成对出现的量，才需要用正负号区分。0 既不是正数也不是负数。
  • 整数和分数统称有理数。注意：有限小数（0.25）和无限循环小数（0.333…）都是分数，所以都是有理数。π、√2 这类才是无理数。
  • 数轴三要素：原点、正方向、单位长度。缺一不可。画的时候先画直线，再定原点和方向，最后标单位长度。
  • 数轴上，右边的数永远比左边的大。这是比较大小的“物理依据”，比背法则牢。
  • 相反数是“只有符号不同”的两个数。a 的相反数是 −a，在数轴上关于原点对称。0 的相反数是 0（唯一等于自己的数）。
  • 绝对值是“到原点的距离”，所以永远 ≥ 0。|a| 不是“去掉负号”，是距离。这是全年最容易被误用的一个定义。
|正数| = 它本身　　|0| = 0　　|负数| = 它的相反数 两个负数比大小：绝对值大的反而小（−5 < −3，因为 |−5| > |−3|）

2例题精讲

例 1

把 −5、0、3.14、−2/3、+7、−1.5 分别填入「正数」「负数」「有理数」三个集合。

解：正数：3.14、+7；负数：−5、−2/3、−1.5；有理数：上面六个数全部都是。
注意：0 既不是正数也不是负数，但它是有理数。
例 2

在数轴上表示 −3、2、−1.5、0、1/2，并把它们从小到大排列。

解：在数轴上标出五个点，从左到右依次是：−3、−1.5、0、1/2、2。
所以　−3 < −1.5 < 0 < 1/2 < 2
检验方法：数轴上右边的数永远比左边大，看左右顺序比背法则可靠。
例 3

已知 |a| = 4，|b| = 2，且 a < b，求 a、b 的值。

解：|a| = 4 ⇒ a = 4 或 a = −4；|b| = 2 ⇒ b = 2 或 b = −2。
逐个检查 a < b：
　a = 4 时，b 最大是 2，4 < 2 不成立 → 舍去；
　a = −4 时，b = 2 或 b = −2 都满足。
所以　a = −4，b = 2；或 a = −4，b = −2。
这类题的关键动作是「先列出全部可能，再用条件筛」，不要一上来就猜。

3练习 · 12 题

写在本子上，做完再展开答案

每天至少 10 题要动笔。只看答案不算做过。

  1. 如果向东走 5 m 记作 +5 m，那么向西走 3 m 记作 ______。
  2. 下列各数中，负数是（　）
    A. −(−2)　　B. −|−3|　　C. (−2)²　　D. |−5|
  3. −7 的相反数是 ______，绝对值是 ______，倒数是 ______。
  4. 绝对值等于 6 的数是 ______。
  5. 若 |x| = −x，则 x 是 ______（填「正数」「负数」或「非正数」）。
  6. 数轴上到原点距离为 3 的点表示的数是 ______。
  7. 比较大小：−5 ______ −7。
  8. 比较大小：−0.6 ______ −2/3。
  9. 数轴上点 A 表示 −2，点 B 表示 3，则 A、B 两点间的距离是 ______。
  10. 把 −|−2|、−(−3)、0、−1.5 从小到大排列。
  11. 若 a < 0，则 |a| = ______，−|a| = ______。
  12. 一个数的相反数等于它本身，这个数是 ______。
展开参考答案（做完再看）
  1. −3 m
  2. B。−(−2) = 2，−|−3| = −3，(−2)² = 4，|−5| = 5，只有 B 是负数。
  3. 相反数 7；绝对值 7；倒数 −1/7
  4. 6 或 −6（±6）
  5. 非正数。|x| = −x 说明 x 的绝对值等于它的相反数，只有 0 和负数满足，即 x ≤ 0。
  6. 3 或 −3（两个答案）
  7. >（−5 在 −7 右边）
  8. >（−0.6 = −0.60，−2/3 ≈ −0.667，−0.60 更大）
  9. 5（3 − (−2) = 5）
  10. −|−2| = −2，−1.5，0，−(−3) = 3
    所以　−|−2| < −1.5 < 0 < −(−3)
  11. |a| = −a（因为 a 是负数，−a 是正数）；−|a| = a（等于 a 本身，是负数）
  12. 0
4 · 今日检测（闭卷，20 分钟，不许翻书）
  1. 若收入 50 元记作 +50 元，则支出 30 元记作 ______。
  2. −2 的相反数是 ______，绝对值是 ______。
  3. 在数轴上，与表示 −3 的点距离为 4 的点表示的数是 ______。
  4. 比较大小：−3/4 ______ −4/5（填 >、< 或 =）。
  5. 若 |x| = 5，则 x = ______。
  6. 把 −(−3)、−|−2|、0、−2.5 从小到大排列。
▸ 展开答案与判分

1. −30 元

2. 2；2

3. −7 或 1（两个答案，只写一个算错——这是“距离”类题的通病）

4. −3/4 = −0.75，−4/5 = −0.8，所以 −3/4 > −4/5

5. x = 5 或 x = −5（写成 ±5 也对）

6. −2.5 < −|−2| < 0 < −(−3)。因为 −|−2| = −2，−(−3) = 3。

判分：6 题至少对 5 题才算过。第 3、5 题漏解是零分，不是半分。

今天最容易错的地方
  • |−a| 和 −|a| 混。前者是距离（非负），后者是距离的相反数（非正）。
  • 把“相反数”当成“倒数”。相反数是 a → −a（和为 0），倒数是 a → 1/a（积为 1）。
  • 数轴上“距离”题只给一个答案。看到“距离”，脑子里立刻补一句：左右各一个。
今日目标：符号不出错。今天不追速度，只追“每一步的符号我都知道为什么”。
先读这一段

昨天你学的是「认识」负数，今天是「算」负数。

这是整个初中数学里最容易被低估的一天。原因是：后面要学的解方程、去括号、因式分解、不等式变号，全部以今天的符号规则为地基。今天错一个符号，往后每一步都盖在歪的地基上——而且当时看不出来，等到初三才发现。

好消息是，负数的运算规则其实很少。加法的关键只有一句：看两个数是「同方向」还是「反方向」。乘法的关键也只有一句：看两个数的「符号相同还是相反」。你不需要背很多条法则，只需要每道题问自己一次这两句话。

还有一个坑要提前说：−3² 和 (−3)² 长得几乎一样，结果一个是 −9，一个是 9。区别只在于那个负号在乘方外面，还是在括号里面。

读完先回答自己：看到 −3² 和 (−3)²，你会先算哪一部分？负号从哪里开始算？

今天是整个 14 天里最重要的一天。有理数运算的符号错误会跟你到中考。后面解方程、去括号、因式分解、不等式变号，全是这一天的延伸。宁可今天慢，明天也别返工。

1法则 + 它们背后的逻辑

  • 加法：同号相加——取相同符号，绝对值相加；异号相加——取绝对值较大的那个数的符号，用大绝对值减小绝对值。
  • 减法：减去一个数 = 加上这个数的相反数。a − b = a + (−b)。所以减法不用单独记法则，全转成加法。
  • 乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数乘 0 得 0。
  • 除法：除以一个不为 0 的数 = 乘它的倒数。a ÷ b = a × (1/b)。
  • 乘方：aⁿ 里 a 是底数、n 是指数。负数的偶次幂为正，奇次幂为负。
  • 混合运算顺序：先乘方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号里，由内向外。
−3² = −(3²) = −9　　　(−3)² = 9　　　−(−3)² = −9 3² = 9　　(−2)³ = −8　　−2³ = −8
必须分清：−3² 的“−”在乘方外面，先算 3² 再取负 → −9。(−3)² 的“−”在括号里面，是 −3 自乘 → 9。这一条每年都有大量学生错到初三。

2例题精讲

例 1

计算：−7 + 3 − (−5) − |−2|

解：先把减法和绝对值都转成加法：
−7 + 3 + 5 − 2
= (−7 + 3) + (5 − 2) = −4 + 3 = −1
口诀：见减号，先改成加相反数，再按加法算。
例 2

计算：(−2)³ × (−3) ÷ 6

解：先算乘方：(−2)³ = −8
再从左到右算乘除：−8 × (−3) = 24；24 ÷ 6 = 4
提醒：乘除同级，必须严格从左到右，不能先算后面的 ÷6。
例 3

计算：−1² + (−3)² ÷ 9 − (−1/2) × (−4)

解：逐项算清楚：
−1² = −1（负号在乘方外面，先算 1² 再取负）
(−3)² ÷ 9 = 9 ÷ 9 = 1
−(−1/2) × (−4)：先算 (−1/2) × (−4) = 2，前面再加负号 → −2
合计：−1 + 1 − 2 = −2

3练习 · 14 题

写在本子上，做完再展开答案

前 8 题只写答案，第 9 题起必须写步骤。今天宁可慢，符号必须对。

  1. (−8) + (−5) = ______
  2. (−8) − 5 = ______
  3. 8 − (−5) = ______
  4. (−8) × 5 = ______
  5. (−8) ÷ (−4) = ______
  6. (−3)² = ______
  7. −3² = ______
  8. (−2)³ = ______
  9. (−1)²⁰²⁴ = ______
  10. 计算：−5 + 12 − 8 + 3 − 2
  11. 计算：(−2)² × (−3) + 12 ÷ (−4)
  12. 计算：−2³ − (−3)² ÷ 3
  13. 计算：(−1/2) × 4 ÷ (−2)
  14. 计算：|−5| − 3 × (−2)²
展开参考答案（做完再看）
  1. −13
  2. −13（减去正数 = 加上负数）
  3. 13
  4. −40
  5. 2
  6. 9
  7. −9（负号在乘方外面）
  8. −8
  9. 1（偶次幂为正）
  10. −5 + 12 = 7；7 − 8 = −1；−1 + 3 = 2；2 − 2 = 0
  11. (−2)² = 4；4 × (−3) = −12；12 ÷ (−4) = −3；合计 −12 + (−3) = −15
  12. −2³ = −8；(−3)² ÷ 3 = 9 ÷ 3 = 3；合计 −8 − 3 = −11
  13. (−1/2) × 4 = −2；−2 ÷ (−2) = 1
  14. |−5| = 5；(−2)² = 4，3 × 4 = 12；合计 5 − 12 = −7
4 · 今日检测（闭卷，15 分钟）
  1. (−7) + (+3) = ______
  2. (−8) − (−12) = ______
  3. (−2)³ × (−3) = ______
  4. −12 ÷ (−3) × 1/4 = ______
  5. (−1)²⁰²⁵ = ______
  6. 计算：−3² + (−2)³ ÷ 4 − (−1/2) × 8
▸ 展开答案与判分

1. −4

2. 4（减去 −12 = 加上 12）

3. (−8) × (−3) = 24

4. −12 ÷ (−3) = 4，4 × 1/4 = 1

5. −1（奇次幂）

6. −3² = −9；(−2)³ ÷ 4 = −8 ÷ 4 = −2；−(−1/2) × 8 = +4。
合计 −9 − 2 + 4 = −7

判分：6 题全对才算过。今天允许不达标，但要找出错的是“法则不会”还是“会但写错”——两者补救方式完全不同。

今天最容易错的地方
  • 减号没转成加相反数就往下算。建议前 50 道题，每道都先手写一遍转换式再算。
  • 连乘除时从左到右乱跳。乘除同级，必须严格从左到右。
  • 倒数和相反数又混。−3 的倒数是 −1/3，不是 1/3。
今日目标：从“算数字”切换到“算字母”。会判断同类项、会去括号、会把一个长式子化简干净。
先读这一段

前面两节你一直在算具体的数。从这一节开始，你要开始算「字母」。这不是换个写法，是换一种思维方式。

为什么要用字母？因为很多规律用数字根本说不清。比如「一个数的两倍再加三」，如果你把 x 换成具体的数，说一遍就要举一个例子；写成 2x + 3，一句话就概括了所有符合条件的数。用字母，是为了「一次说清一整类事」。

刚接触会觉得别扭是正常的：3a 是什么？它其实就是 3×a，只是乘号省略了。整式的加减看起来复杂，实际只做两件事——把同类的项合在一起，把括号拆开。就像整理房间：先把同类的东西归堆，再拆开箱子。

有一个点必须想明白，不然会一直错：2a² 和 3a² 能合并成 5a²，但 2a² 和 3a³ 不行。为什么？因为「次数」不同，它们就是两种东西。

读完先回答自己：3a 到底是什么意思？为什么 2a² 和 3a³ 不能合并？

1核心概念（必须区分清楚）

  • 代数式：用运算符号把数和字母连接起来的式子。单独一个数或一个字母（如 5、x）也算代数式。
  • 代数式的值：把字母换成具体数算出来。书写时注意：3a 表示 3×a，数字写前面。
  • 单项式：数与字母的积。它有两件“衣服”：系数（前面的数字，含符号）和次数（所有字母指数之和）。
  • 多项式：几个单项式的和。每个单项式叫一项，不含字母的项叫常数项；次数 = 最高次项的次数。
  • 同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同。与系数无关、与字母顺序无关。2x²y 与 −5yx² 是同类项。
  • 合并同类项：系数相加，字母和指数原样不动。
  • 去括号：括号前是“+”，去括号后各项符号不变；括号前是“−”，去括号后每一项都变号。
−3a²b → 系数 −3，次数 3（a 的 2 次 + b 的 1 次） 3(2a − b) − 2(a + 3b) = 6a − 3b − 2a − 6b = 4a − 9b

2例题精讲

例 1

化简：3a − 2(a − 3b) + b

解：先去括号：−2(a − 3b) = −2a + 6b（−2 要乘进去每一项）
原式 = 3a − 2a + 6b + b
合并同类项：a 项 3a − 2a = a；b 项 6b + b = 7b
结果：a + 7b
例 2

化简：−2x²y + 3xy² − 5x²y + xy²

解：先认同类项：
x²y 这一类：−2x²y、−5x²y → 合并得 −7x²y
xy² 这一类：3xy²、xy² → 合并得 4xy²
结果：−7x²y + 4xy²
注意：x²y 和 xy² 不是同类项（字母指数对不上），不能合并。
例 3

已知 A = 2x² − 3x + 1，B = x² + 2x − 4，求 2A − B。

解：先算 2A：2(2x² − 3x + 1) = 4x² − 6x + 2
再算 −B：−(x² + 2x − 4) = −x² − 2x + 4（每一项都要变号）
相加：4x² − 6x + 2 − x² − 2x + 4 = 3x² − 8x + 6

3练习 · 13 题

写在本子上，做完再展开答案

化简题必须写到最简再停手，中途不要代值。

  1. −5xy² 的系数是 ______，次数是 ______。
  2. 下列式子中，单项式是（　）
    A. x + 1　　B. 2/x　　C. −7ab　　D. a − b
  3. 多项式 3x² − 2x + 5 是 ______ 次 ______ 项式，常数项是 ______。
  4. 与 −2a²b 是同类项的是（　）
    A. 2ab²　　B. a²b　　C. −2ab　　D. −2a²b²
  5. 化简：5a − 3a + 2a
  6. 化简：3(x − 2) − 2(x + 1)
  7. 化简：2m − [m − (3m − 2)]
  8. 化简：−a + 2(a − 1) − 3(a + 2)
  9. 当 a = 3，b = −1 时，求 2a − 3b + 1 的值。
  10. 当 x = −2 时，求 x³ − 2x + 1 的值。
  11. 已知 A = 3x² − 2x + 1，B = 2x² + x − 3，求 A − B。
  12. 若 2xmy³ 与 5x²yn 是同类项，求 m + n。
  13. 一个两位数，十位数字是 a，个位数字是 b，这个两位数是 ______。
展开参考答案（做完再看）
  1. 系数 −5；次数 3（x 的 1 次 + y 的 2 次）
  2. C。2/x 分母含字母，不是整式；A、D 是多项式。
  3. 二次三项式；常数项 5
  4. B（字母相同，且 a 都是 2 次、b 都是 1 次）
  5. 4a
  6. 3x − 6 − 2x − 2 = x − 8
  7. 里面先算：m − (3m − 2) = −2m + 2；再 2m − (−2m + 2) = 4m − 2
  8. −a + 2a − 2 − 3a − 6 = −2a − 8
  9. 2×3 − 3×(−1) + 1 = 6 + 3 + 1 = 10
  10. (−2)³ = −8；−2x = 4；合计 −8 + 4 + 1 = −3
  11. 3x² − 2x + 1 − (2x² + x − 3) = 3x² − 2x + 1 − 2x² − x + 3 = x² − 3x + 4
  12. m = 2，n = 3，m + n = 5
  13. 10a + b
4 · 今日检测（闭卷，20 分钟）
  1. −3a²b 的系数是 ______，次数是 ______。
  2. 若 2xmy³ 与 −3x²yn 是同类项，则 m = ______，n = ______。
  3. 化简：3(2a − b) − 2(a + 3b)
  4. 化简：2a² − [3a − (a² − 2a + 1)]
  5. 当 x = −2 时，求 x² − 3x + 1 的值。
  6. 已知 A = 3x² − 2x + 1，B = x² + 4x − 3，求 A − 2B。
▸ 展开答案与判分

1. 系数 −3，次数 3

2. m = 2，n = 3

3. = 6a − 3b − 2a − 6b = 4a − 9b

4. 先去小括号：2a² − [3a − a² + 2a − 1] = 2a² − [5a − a² − 1] = 2a² − 5a + a² + 1 = 3a² − 5a + 1

5. 4 − 3(−2) + 1 = 4 + 6 + 1 = 11

6. A − 2B = (3x² − 2x + 1) − (2x² + 8x − 6) = x² − 10x + 7

判分：6 题对 5 题以上算过。第 4 题括号嵌套错、第 6 题 −2B 只乘了第一项，是两个典型零分点。

今天最容易错的地方
  • 系数乘多项式时只乘第一项。−2(a + 3b) 要乘进去变成 −2a − 6b，不是 −2a + 3b。
  • 括号前是负号，只改了第一项的符号。整条括号里每一项都要变。
  • 合并同类项时把指数也加起来了。2a² + 3a² = 5a²，不是 5a⁴。
今日目标：看到任何一元一次方程，都能按固定五步解出来，且不丢步骤。
先读这一段

从今天开始，你学数学的方式会有一个真正的转折。

小学的算术是这样的：已知条件，一步一步算出答案。方程的思路正好反过来——先把答案当成一个还不知道的数 x，按题目的关系写成一个等式，再把这个等式「解开」，让 x 自己露出来。

为什么这个思路更强？因为在复杂题目里，正着一步步算非常难，甚至算不下去；但把关系写成等式却很容易。等式一旦写出来，后面就是固定的五步，不需要再动脑子。

所以今天你要掌握的不是「会做某一道题」，而是这五步的顺序和每一步的道理。尤其是「移项要变号」——它不是老师规定的，而是等式两边同时加或减同一个数的自然结果。想通这一点，你就不会忘记变号。

读完先回答自己：为什么移项一定要变号？它背后用的是等式的哪条性质？

1概念 + 两条等式性质

  • 方程：含未知数的等式。方程的解：使等式成立的未知数的值。
  • 一元一次方程：只含一个未知数，未知数的次数是 1，等号两边都是整式。2/x + 1 = 3 不是（分母有未知数）；x² + 1 = 0 不是（次数 2）。
  • 等式性质 1：两边同时加（或减）同一个数或同一个式子，结果仍相等。
  • 等式性质 2：两边同时乘同一个数、或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。
  • 移项：把等式一边的某项变号后移到另一边。移项必须变号，这是解方程最高频的错。
解一元一次方程固定五步： ① 去分母（两边乘各分母的最小公倍数，每一项都要乘，别漏常数项） ② 去括号（注意括号前负号） ③ 移项（过等号就变号） ④ 合并同类项 ⑤ 系数化为 1（两边除以未知数的系数）

2例题精讲

例 1

解方程：3x − 5 = 7x + 3

解：移项（过等号就变号）：
3x − 7x = 3 + 5
合并：−4x = 8
系数化为 1（两边除以 −4）：x = −2
检验：左边 3×(−2) − 5 = −11；右边 7×(−2) + 3 = −11，相等 ✓
例 2

解方程：2(x + 3) = 5 − (x − 1)

解：去括号：2x + 6 = 5 − x + 1　← 注意 −(x − 1) = −x + 1
整理右边：2x + 6 = 6 − x
移项：2x + x = 6 − 6
合并：3x = 0　⇒　x = 0
例 3

解方程：(x − 1)/2 − (x + 2)/3 = 1

解：去分母：两边同乘 6（2 和 3 的最小公倍数）
3(x − 1) − 2(x + 2) = 6　← 右边的 1 也要乘 6，变成 6，最容易漏
去括号：3x − 3 − 2x − 4 = 6
合并：x − 7 = 6
所以　x = 13

3练习 · 12 题

写在本子上，做完再展开答案

每道题解完都代回原方程验算一遍。这个习惯能省掉后面无数冤枉错。

  1. 解方程：4x − 3 = 2x + 5
  2. 解方程：2x + 7 = 3x − 2
  3. 解方程：5(x − 1) = 3x + 1
  4. 解方程：3 − 2(x − 1) = 5x
  5. 解方程：x/2 + x/3 = 5
  6. 解方程：(2x − 1)/3 = (x + 1)/2
  7. 解方程：(x − 1)/2 − 1 = (x + 2)/4
  8. 解方程：0.5x − 0.2 = 0.3x + 0.6
  9. 若 x = 3 是方程 2x + a = 11 的解，求 a。
  10. 若 x = −1 是方程 kx − 3 = 2x 的解，求 k。
  11. 代数式 3x − 5 与 2x + 1 的值相等，求 x。
  12. 代数式 2(x − 1) 与 5x + 7 的值互为相反数，求 x。
展开参考答案（做完再看）
  1. 4x − 2x = 5 + 3 → 2x = 8 → x = 4
  2. 2x − 3x = −2 − 7 → −x = −9 → x = 9
  3. 5x − 5 = 3x + 1 → 2x = 6 → x = 3
  4. 3 − 2x + 2 = 5x → 5 = 7x → x = 5/7
  5. 乘 6：3x + 2x = 30 → 5x = 30 → x = 6
  6. 乘 6：2(2x − 1) = 3(x + 1) → 4x − 2 = 3x + 3 → x = 5
  7. 乘 4：2(x − 1) − 4 = x + 2 → 2x − 2 − 4 = x + 2 → x = 8
  8. 0.5x − 0.3x = 0.6 + 0.2 → 0.2x = 0.8 → x = 4
  9. 2×3 + a = 11 → 6 + a = 11 → a = 5
  10. k×(−1) − 3 = 2×(−1) → −k − 3 = −2 → −k = 1 → k = −1
  11. 3x − 5 = 2x + 1 → x = 6
  12. 互为相反数即和为 0：2x − 2 + 5x + 7 = 0 → 7x + 5 = 0 → x = −5/7
4 · 今日检测（闭卷，20 分钟）
  1. 解方程：5x − 2 = 3x + 6
  2. 解方程：3(x − 2) = 2 − (x + 1)
  3. 解方程：(2x − 1)/3 = (x + 2)/4 − 1
  4. 若 x = 2 是方程 3x − a = 5 的解，求 a。
  5. 解方程：0.3x − 0.4 = 0.2(x + 1)
▸ 展开答案与判分

1. 5x − 3x = 6 + 2 → 2x = 8 → x = 4

2. 3x − 6 = 2 − x − 1 = 1 − x → 3x + x = 1 + 6 → 4x = 7 → x = 7/4

3. 两边乘 12：4(2x − 1) = 3(x + 2) − 12
8x − 4 = 3x + 6 − 12 = 3x − 6 → 5x = −2 → x = −2/5
关键：右边的 −1 也要乘 12 变成 −12，漏了就是典型错。

4. 6 − a = 5 → a = 1

5. 0.3x − 0.4 = 0.2x + 0.2 → 0.1x = 0.6 → x = 6

判分：5 题对 4 题以上算过。第 3 题漏乘常数项直接重练去分母专项。

今天最容易错的地方
  • 去分母时漏乘不含分母的项。上面的 −1 就是。
  • 去分母后分子是多项式却没加括号。(2x−1)/3 乘 3 后要写成 (2x − 1) 带括号。
  • 移项不变号。建议前 20 道题把“移项”两个字写在旁边，强迫自己想。
今日目标：拿到一道应用题，先能找出等量关系，再动笔。今天重点是“想清楚”而不是“算得快”。
先读这一段

昨天你学的是「怎么解方程」，今天是「怎么把题目变成方程」。后者比前者难一个档次。

解方程是机械动作，只要按五步走就行。列方程不一样，它是翻译：把一段中文，翻译成一个数学式子。而翻译的关键从来不是计算，而是找到那句话里「哪个量等于哪个量」——这个关系叫等量关系。

好消息是：几乎所有应用题，题目里都藏着一句「……等于……」或者「……一样多」或者「……共……」。找到它，方程就列出来了；找不到，说明你还没读懂题，不是不会数学。所以今天做题的第一件事不是设未知数，是把那句话圈出来。

今天会用到四个模型：行程、工程、销售、数字。每个模型的等量关系是固定的，记住它们，以后遇到同类题就有抓手，不用每次重新想。

读完先回答自己：这道题里，哪一句话在说「两个量相等」？先把它圈出来，再动笔。

1固定套路 + 四类必考模型

  • 六步流程：审题 → 设未知数 → 找等量关系 → 列方程 → 解 → 检验并作答。“找等量关系”是唯一真正难的步骤，其他都是机械动作。
  • 行程问题：路程 = 速度 × 时间。相遇：两人路程之和 = 总距离；追及：快者路程 − 慢者路程 = 初始距离。
  • 工程问题：工作量 = 效率 × 时间。总工作量通常设为 1，甲的效率 = 1/甲单独完成天数。
  • 销售问题：利润 = 售价 − 进价；利润率 = 利润 ÷ 进价 × 100%；打折 = 原价 × 折扣。
  • 数字问题：两位数 = 10 × 十位数字 + 个位数字。这个展开式不会写，整类题都做不了。

2例题精讲

例 1

甲、乙两地相距 300 km，两车同时从两地相向而行，速度分别是 70 km/h 和 50 km/h，几小时后相遇？

解：设 x 小时后相遇。
等量关系：两车走的路程之和 = 两地距离。
70x + 50x = 300　⇒　120x = 300　⇒　x = 2.5
答：2.5 小时后相遇（即 2 小时 30 分）。
例 2

某商品进价 120 元，按标价的八折出售，仍获利 20 元。求标价。

解：设标价为 y 元。
等量关系：售价 − 进价 = 利润。
八折后的售价 = 0.8y，所以　0.8y − 120 = 20
0.8y = 140　⇒　y = 175
答：标价 175 元。
例 3

一项工程，甲单独做 12 天完成，乙单独做 18 天完成。两人合作几天完成？

解：把总工作量设为 1。
甲的效率 = 1/12，乙的效率 = 1/18。
设合作 x 天完成：x/12 + x/18 = 1
乘 36：3x + 2x = 36　⇒　5x = 36　⇒　x = 7.2
答：合作需要 7.2 天（7 天多一点）。

3练习 · 10 题

写在本子上，做完再展开答案

每道题先写出「等量关系是 ______」，再列方程。这一步不能跳。

  1. 两地相距 280 km，两车同时相向而行，速度 80 km/h 和 60 km/h，几小时后相遇？
  2. 甲速度 60 km/h，乙速度 40 km/h。乙先出发 1 小时，甲出发后几小时追上乙？
  3. 一项工程甲单独做 10 天完成，乙单独做 20 天完成。两人合作几天完成？
  4. 某商品进价 200 元，标价 300 元，打 x 折出售，利润率 20%。求 x。
  5. 某数的 2 倍与 3 的和，等于该数的 5 倍减 9。求这个数。
  6. 一个两位数，个位数字是十位数字的 3 倍。把两位数字对调后，新数比原数大 54。求原两位数。
  7. 今年父亲 40 岁，儿子 12 岁。几年后父亲年龄是儿子年龄的 2 倍？
  8. 某班男生比女生多 8 人，全班共 42 人。求男、女生各多少人。
  9. 一件商品打八折后比原价少 24 元。求原价。
  10. 甲、乙两数之和为 56，甲比乙的 3 倍少 4。求这两数。
展开参考答案（做完再看）
  1. 80x + 60x = 280 → 140x = 280 → x = 2 小时
  2. 乙先走 40 km。设甲出发后 x 小时追上：60x = 40 + 40x → 20x = 40 → x = 2 小时
  3. 1/10 + 1/20 = 3/20，需 20/3 天（约 6.7 天）
  4. 售价 = 200×1.2 = 240；300 × x/10 = 240 → x/10 = 0.8 → x = 8（八折）
  5. 2x + 3 = 5x − 9 → 12 = 3x → x = 4
  6. 设十位 a，个位 3a。原数 10a + 3a = 13a；新数 30a + a = 31a。
    31a − 13a = 18a = 54 → a = 3 → 原数 39（检验：93 − 39 = 54 ✓）
  7. 40 + x = 2(12 + x) → 40 + x = 24 + 2x → x = 16 年
  8. 设女生 x，男生 x + 8：x + x + 8 = 42 → x = 17。女生 17 人，男生 25 人
  9. 0.2x = 24 → 原价 120 元
  10. 设乙 y，甲 3y − 4：3y − 4 + y = 56 → 4y = 60 → y = 15。乙 15，甲 41
4 · 今日检测（闭卷，25 分钟）
  1. 甲、乙两地相距 180 km。A 车 60 km/h，B 车 40 km/h，同时从两地相向而行，几小时后相遇？
  2. 某商品进价 200 元，标价 300 元，打 x 折销售，利润率 20%，求 x。
  3. 一项工程甲单独做 10 天完成，乙单独做 15 天完成，两人合作几天完成？
  4. 一个两位数，个位数字是十位数字的 2 倍。把两个数字对调后，所得新数比原数大 36。求原两位数。
  5. 今年父亲 38 岁，儿子 10 岁，几年后父亲年龄是儿子年龄的 3 倍？
▸ 展开答案与判分

1. 设 x 小时相遇：60x + 40x = 180 → x = 1.8 小时（1 小时 48 分）

2. 售价 = 200 × 1.2 = 240；300 × (x/10) = 240 → x/10 = 0.8 → x = 8（八折）

3. 合作效率 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 1/6，需 6 天

4. 设十位 a，个位 2a。原数 = 10a + 2a = 12a；新数 = 10(2a) + a = 21a。
21a − 12a = 9a = 36 → a = 4 → 原数 = 48

5. 38 + x = 3(10 + x) → 38 + x = 30 + 3x → 8 = 2x → x = 4（4 年后）

判分：5 题对 4 题以上算过。答完要带单位，不写单位算不完整。

今天最容易错的地方
  • 数字问题不知道“10 × 十位 + 个位”。这是唯一一个必须背的展开式。
  • 打折题的“x 折”当成 x%。八折 = 原价 × 0.8 = 原价 × 8/10。设 x 折，乘的是 x/10。
  • 年龄问题忘了“两人同时长”。几年后父亲加 x 岁，儿子也要加 x 岁。
  • 不算完就写答案。今天每道题都要代回检验。
今日目标：把“几何语言”建立起来。今天内容不难，但它是后面所有几何的地基，尤其是角平分线和互余互补。
先读这一段

前面五节都在算数，今天换个频道，进入「图形」。

这一节的知识点本身不难，但它在培养一种新能力：看图和画图。你以后会发现，很多几何题做不出来，不是不会推理，而是图没画对、条件没标在图上。所以从今天起，养成「先画图、再把已知条件标上去」的习惯。

今天只做两件基础事：一是认识点、线、面、体的关系，知道图形可以通过平移、旋转、翻折来运动，而且运动过程中形状和大小都不变；二是把线段和角的「语言」学会——怎么表示、怎么比较、怎么换算。

有一个地方要特别小心：角度是 60 进制。1° = 60′，1′ = 60″。这和你平时习惯的 10 进制、100 进制完全不同，借位的时候借的是 60 不是 10，出错率很高。

读完先回答自己：1° 等于多少分？为什么这里不是 10 进制？借位时应该借多少？

1必记要点

  • 图形由点、线、面、体组成。点动成线，线动成面，面动成体。
  • 图形的三种运动：平移、旋转、翻折（轴对称）。这三种运动形状大小都不变，只变位置——这是全等概念的前身。
  • 正方体展开图共 11 种。数法口诀：“1-4-1”六种、“2-3-1”三种、“2-2-2”一种、“3-3”一种。
  • 三视图：主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）。
  • 线段、射线、直线：线段有两个端点、可度量；射线一个端点；直线无端点。两点确定一条直线；两点之间线段最短。
  • 角：1° = 60′，1′ = 60″。这是 60 进制，不是 100 进制，换算时别犯错。
  • 余角、补角、对顶角：两角之和 90° 互余，之和 180° 互补；对顶角相等。同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。
1° = 60′　　1′ = 60″ 90° − 37°28′ = 89°60′ − 37°28′ = 52°32′

2例题精讲

例 1

已知 ∠α = 32°18′，求它的余角和补角。

解：余角：90° − 32°18′
把 90° 借 1° 出来变成 89°60′，再减：
89°60′ − 32°18′ = 57°42′
补角：180° − 32°18′ = 179°60′ − 32°18′ = 147°42′
关键：度分秒是 60 进制，借位借的是 60 分，不是 10 分。
例 2

一个角的补角，比它的余角的 2 倍多 30°。求这个角。

解：设这个角为 x 度。
它的补角 = 180 − x，它的余角 = 90 − x。
列方程：180 − x = 2(90 − x) + 30
去括号：180 − x = 180 − 2x + 30
整理：180 − x = 210 − 2x
移项：x = 30　⇒　这个角是 30°
检验：补角 150°，余角 60°，2×60 + 30 = 150 ✓

3练习 · 12 题

写在本子上，做完再展开答案

第 1–5 题只写答案，第 6 题起要写过程。

  1. 1° = ______′，1′ = ______″。
  2. 0.75° = ______′。
  3. 36°15′ = ______°（写成小数）。
  4. 90° − 47°36′ = ______。
  5. 32°45′ + 27°30′ = ______。
  6. 一个角是它的余角的 4 倍，求这个角。
  7. 一个角的补角等于它的余角的 3 倍，求这个角。
  8. 若 ∠α 与 ∠β 互补，∠α = 63°，求 ∠β。
  9. 一个角的补角比它的余角大 ______ 度。
  10. 线段 AB = 12，C 是 AB 的中点，D 是 AC 的中点，求 AD。
  11. 两点之间 ______ 最短。
  12. 正方体的展开图共有 ______ 种。
展开参考答案（做完再看）
  1. 60；60
  2. 45（0.75 × 60）
  3. 36.25（15′ = 15/60 = 0.25°）
  4. 89°60′ − 47°36′ = 42°24′
  5. 59°75′ = 60°15′（75′ 要进位成 1°15′）
  6. 4x + x = 90 → x = 18 → 这个角是 72°
  7. 180 − x = 3(90 − x) → 180 − x = 270 − 3x → 2x = 90 → x = 45°
  8. 117°
  9. 90。因为 (180 − x) − (90 − x) = 90，与 x 无关。
  10. AC = 6，AD = 6/2 = 3
  11. 线段
  12. 11 种
4 · 今日检测（闭卷，15 分钟）
  1. 1.5° = ______′；45°30′ = ______°（写成小数）。
  2. 一个角的补角是它的余角的 3 倍，求这个角。
  3. 若 ∠1 与 ∠2 互余，∠1 = 37°28′，则 ∠2 = ______。
  4. 正方体的展开图共有几种？
  5. 两点之间 ______ 最短；两点确定 ______ 条直线。
▸ 展开答案与判分

1. 1.5 × 60 = 90′；45°30′ = 45.5°

2. 设这个角为 x：180 − x = 3(90 − x) → 180 − x = 270 − 3x → 2x = 90 → x = 45°

3. 90° − 37°28′ = 89°60′ − 37°28′ = 52°32′

4. 11 种

5. 线段；一

判分：5 题全对算过。第 3 题是最典型的 60 进制错，借位要借成 60 不是 10。

今天最容易错的地方
  • 度分秒按十进制算。89°60′ 借位是 60′，不是 10′。
  • “互余/互补”搞反。余 → 90°，补 → 180°。联想：余（小）对 90（小），补（大）对 180（大）。
  • 三视图耗费太多时间。这块中考权重低，今天只做基础题，别钻研。
今日目标：半天新课 + 半天自测。自测是这周唯一的验收关卡，必须闭卷、计时、写完再对答案。
先读这一段

今天内容很少，重点只有一个：把「位置关系」这四个字理解透。

两条直线在同一个平面里，关系只有两种：相交，或者不相交。不相交叫平行。相交的时候如果正好成直角，叫垂直。就这么简单。

但有一句话必须原样记住：「过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。」这是平行公理，是后面所有平行线性质的源头。「有且只有」这四个字，意思是「至少有一条，而且最多只有一条」——它同时排除了「一条都没有」和「有两条以上」这两种情况。

还有一个字眼上的坑：点到直线的距离，指的是那条垂线段的长度，是一条长度，不是那条线本身。考试非常喜欢在这种地方设陷阱。

读完先回答自己：「有且只有一条」里的「有」和「只有」，分别排除了什么情况？

1新课要点（30 分钟就能过）

  • 平行：同一平面内不相交的两条直线。平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
  • 垂直：两条直线相交成直角。记作 a ⊥ b。
  • 垂线段最短。从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
  • 注意“距离”指的是长度，不是那条线段本身——这是考试常抠的字眼。

2例题精讲

例 1

同一平面内，已知 a ⊥ b，b ⊥ c。判断 a 与 c 的位置关系。

解：a 与 c 都垂直于 b。
同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
所以　a ∥ c。
注意前提「同一平面内」不能丢——在空间中这个结论不成立。
例 2

判断命题「不相交的两条直线一定平行」的真假，并说明理由。

解：假命题。
理由：平行定义为「同一平面内不相交的两条直线」。如果不限定在同一平面内，两条直线可以既不相交也不平行（例如立交桥的上下两条路）。
这个命题就是漏掉了「同一平面内」这个条件。

3练习 · 8 题

写在本子上，做完再展开答案

今天量少，做完直接进自测卷。自测必须闭卷、计时 60 分钟。

  1. 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线 ______。
  2. 过直线外一点，有且只有 ______ 条直线与已知直线平行。
  3. 从直线外一点到这条直线的垂线段的 ______，叫做点到直线的距离。
  4. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，______ 最短。
  5. 若 a ∥ b，b ∥ c，则 a ______ c。
  6. 两条直线相交成直角，就说这两条直线互相 ______。
  7. 判断：不相交的两条直线一定平行。（　）
  8. 判断：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（　）
展开参考答案（做完再看）
  1. 平行
  2. 一
  3. 长度（注意是长度，不是那条线段本身）
  4. 垂线段
  5. ∥（平行于同一条直线的两直线平行）
  6. 垂直
  7. 错。缺少「同一平面内」这个前提。
  8. 对。
自测卷①　第一周（满分 100，限时 60 分钟）
闭卷作答，先写完再看答案

一、填空（每题 4 分，共 32 分）

  1. −5 的相反数是 ______，绝对值是 ______，倒数是 ______。
  2. 绝对值等于 3 的数是 ______。
  3. 把 −2、0、|−3|、−(−1)、−1.5 用“<”连接：______。
  4. 单项式 −(2/3)a²b³ 的系数是 ______，次数是 ______。
  5. 若 3xmy² 与 −x³yn 是同类项，则 m + n = ______。
  6. 一个角的余角是 28°，则它的补角是 ______。
  7. 1° − 25′ = ______。
  8. 正方体展开图共 ______ 种。

二、计算与化简（每题 6 分，共 36 分）

  1. (−3)² − (−2)³ ÷ 4
  2. −1⁴ + (−2) × (−3) − |−5|
  3. 化简：3(2a − b) − (a − 3b)
  4. 化简：2x² − [x − (x² − 2x + 1)] + 1
  5. 解方程：4x − 3 = 2(x + 1)
  6. 解方程：(x − 1)/2 − (2x + 1)/3 = 1

三、应用题（每题 16 分，共 32 分）

  1. 甲、乙两地相距 240 km，A 车从甲地出发，速度 80 km/h；B 车从乙地出发，速度 60 km/h，两车同时出发相向而行。几小时后两车相遇？
  2. 某商品进价 150 元，按标价的八折出售，仍可获利 20%。求标价。
▸ 展开答案与评分标准

1. 5；5；−1/5

2. 3 或 −3

3. −2 < −1.5 < 0 < −(−1) < |−3|（即 −2 < −1.5 < 0 < 1 < 3）

4. 系数 −2/3，次数 5

5. m = 3，n = 2，m + n = 5

6. 角 = 90 − 28 = 62°；补角 = 180 − 62 = 118°

7. 60′ − 25′ = 35′

8. 11 种

9. 9 − (−8) ÷ 4 = 9 + 2 = 11

10. −1 + 6 − 5 = 0

11. 6a − 3b − a + 3b = 5a

12. 2x² − [x − x² + 2x − 1] + 1 = 2x² − [3x − x² − 1] + 1 = 2x² − 3x + x² + 1 + 1 = 3x² − 3x + 2

13. 4x − 3 = 2x + 2 → 2x = 5 → x = 5/2

14. 乘 6：3(x − 1) − 2(2x + 1) = 6 → 3x − 3 − 4x − 2 = 6 → −x − 5 = 6 → x = −11

15. 80x + 60x = 240 → 140x = 240 → x = 12/7 小时（≈ 1 小时 43 分）

16. 售价 = 150 × 1.2 = 180；标价 × 0.8 = 180 → 标价 = 225 元

达标线：85 分。80–84：把错的题型各补 5 道再往下。80 以下：Day 8 前用半天回炉 Day 2（有理数运算）和 Day 3（去括号）——十有八九是这两处漏。